Binarni, oktalni i heksadecimalni brojevi

Kako računalo broji nulama i jedinicama: binarni brojevi na LED-icama, bit, nibl i bajt, oktalni i heksadecimalni brojevi te njihov zapis u Arduino kodu.

Samo dva stanja

LED-ica može biti upaljena ili ugašena. Tipkalo je pritisnuto ili nije. Pin Arduina je HIGH ili LOW. Svaki put postoje samo dva stanja, a mi ih možemo zapisati kao 1 i 0.

Računalo, micro:bit i Arduino sve pamte i sve računaju samo pomoću nula i jedinica: brojeve, slova, slike i zvukove. Brojevi zapisani samo nulama i jedinicama zovu se binarni brojevi.

Kako se broji nulama i jedinicama?

Mi brojimo s deset znamenki, od 0 do 9. Kad nam ponestane znamenki, počnemo novo mjesto: nakon 9 dolazi 10. Svako mjesto vrijedi deset puta više od onoga desno od njega: jedinice, desetice, stotice…

U binarnom zapisu postoje samo dvije znamenke, 0 i 1, pa novo mjesto počinje već nakon 1. Svako mjesto vrijedi dva puta više od onoga desno od njega:

Broj dobiješ tako da zbrojiš vrijednosti mjesta na kojima je 1. Binarni broj 1101 je 8 + 4 + 1 = 13.

Probaj: brojevi na karticama

Napravi pet kartica. Na prvu nacrtaj 16 točkica, na drugu 8, pa 4, 2 i 1. Složi ih u red, s 16 na lijevoj strani.

• Kartica okrenuta točkicama prema gore je 1, a okrenuta naopako 0.
• Broj je zbroj točkica na karticama koje vidiš.
• Pokušaj složiti 13: okreneš kartice 8, 4 i 1, pa je zapis 01101.
• Složi broj svojih godina. Koji je najveći broj koji možeš složiti s pet kartica?

Isto možeš napraviti s pet LED-ica u jednom retku zaslona micro:bita: upaljena LED-ica je 1, a ugašena 0. Cijeli zaslon micro:bita ima 25 LED-ica, pa može prikazati 25 nula i jedinica odjednom.

Najveći broj s pet kartica je 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31. Sa šest kartica (dodaš 32) možeš složiti brojeve do 63. Svaka nova kartica udvostruči koliko brojeva možeš složiti.

Bitovi, nibli i bajtovi

Jedna binarna znamenka, jedna kartica ili jedna LED-ica, zove se bit. Osam bitova zajedno zove se bajt (engleski byte). Jedan bajt može zapisati brojeve od 0 do 255, jer je 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255.

Četiri bita, pola bajta, zovu se nibl (engleski nibble). Jedan nibl može zapisati brojeve od 0 do 15, jer je 8 + 4 + 2 + 1 = 15. Bajt ima dva nibla: lijeva četiri bita i desna četiri bita.

Memorija se mjeri u bajtovima. Arduino Uno ima 2 kB (2048 bajtova) memorije za varijable. Mobitel ima milijune puta više.

Oktalni i heksadecimalni brojevi

Od ovog mjesta stranica je za Arduino radionicu.

Brojevni sustavi

Način zapisivanja brojeva zove se brojevni sustav. Broj znamenki koje sustav koristi zove se baza, i ona kaže koliko vrijedi svako mjesto: svako mjesto vrijedi baza puta više od onoga desno od njega.

Isti broj, 200, izgleda u svakom sustavu drukčije, ali je uvijek isti broj. Provjera za oktalni: 3 · 64 + 1 · 8 + 0 · 1 = 200. Za heksadecimalni: C je 12, pa je 12 · 16 + 8 = 200.

Prvih sedamnaest brojeva u sva četiri sustava:

Zašto programeri uopće koriste oktalne i heksadecimalne brojeve? Zato što se iz binarnih u njih pretvara bez računanja: bitove samo podijeliš u skupine.

Heksadecimalni brojevi

Heksadecimalni sustav ima 16 znamenki: 0 do 9 i A do F (A je 10, B je 11 i tako do F, koji je 15). Jedna heksadecimalna znamenka je točno četiri bita, jedan nibl. Zato je bajt uvijek dvije heksadecimalne znamenke, svaki nibl po jedna.

Pretvaranje je jednostavno: binarni broj podijeli na nible, od desne strane, i svaki nibl zamijeni jednom znamenkom iz tablice gore. Broj 200 je binarno 1100 1000: nibl 1100 je C, a nibl 1000 je 8, pa je to C8.

Dug niz nula i jedinica lako se krivo pročita, a dvije heksadecimalne znamenke ne. Zato je heksadecimalni sustav najčešći način na koji programeri zapisuju bajtove.

Oktalni brojevi

Oktalni sustav ima osam znamenki, od 0 do 7. Jedna oktalna znamenka je točno tri bita, pa se binarni broj u oktalni pretvara skupinama po tri bita, od desne strane. Broj 200 je binarno 11 001 000, a to je 3, 1 i 0: oktalno 310 (slika gore).

Bajt od osam bitova ne dijeli se lijepo na skupine po tri, pa se oktalni brojevi danas koriste rijetko. U jeziku C++ skrivaju se u jednoj zamci, opisanoj u sljedećem odjeljku.

Brojevi u Arduino programu

Zapis u kodu

U C++ programu sustav broja određuje ono što piše ispred njega:

byte a = 200;          // dekadski
byte b = 0b11001000;   // binarni: 0b ispred
byte c = 0310;         // oktalni: 0 ispred
byte d = 0xC8;         // heksadecimalni: 0x ispred

Sve četiri varijable imaju istu vrijednost, 200. U starijim Arduino primjerima vidjet ćeš i binarni zapis B11001000. On radi samo u Arduinu, pa je bolje koristiti 0b.

Ispis u serijskom monitoru

Program može ispisati broj u bilo kojem od ovih sustava. Ovaj program u serijskom monitoru ispiše brojeve od 0 do 16 u sva četiri sustava, kao tablica gore:

void setup() {
  Serial.begin(9600);
  Serial.println("DEC\tBIN\tOCT\tHEX");
  for (byte n = 0; n <= 16; n++) {
    Serial.print(n);           // dekadski
    Serial.print('\t');        // tabulator: razmak do sljedećeg stupca
    Serial.print(n, BIN);      // binarni
    Serial.print('\t');
    Serial.print(n, OCT);      // oktalni
    Serial.print('\t');
    Serial.println(n, HEX);    // heksadecimalni
  }
}

void loop() {
}

Ispis ne počinje nulama: 5 ispiše kao 101, a ne kao 00000101.

Slika od bitova

LED matrica 8 × 8 ima osam redaka, a u svakom retku osam LED-ica. Jedan redak je zato točno jedan bajt: svaki bit kaže je li jedna LED-ica upaljena. Cijela slika je osam bajtova:

byte smajlic[8] = {
  0b00111100,
  0b01000010,
  0b10100101,
  0b10000001,
  0b10100101,
  0b10011001,
  0b01000010,
  0b00111100
};

Jedan bit broja pročita funkcija bitRead(broj, mjesto). Mjesta se broje od 0, s desne strane: bitRead(0b00000100, 2) daje 1.

Koliko bitova ima varijabla?

Svaka vrsta varijable ima zadan broj bitova, pa i najveći broj koji može spremiti:

Heksadecimalno se odmah vidi koliko bitova broj ima: svaka znamenka F su četiri jedinice.

Kad broj prijeđe najveću vrijednost, počne ispočetka, kao brojač kilometara u starom autu: byte koji ima 255 nakon + 1 ima 0. Zato vrijeme iz millis() spremamo u unsigned long (pogledaj lekciju Dva semafora na križanju).

I analogRead() vraća broj od 0 do 1023 zbog bitova: pretvornik u Arduinu ima 10 bitova, a s 10 bitova može se zapisati 1024 različita broja.

Što smo naučili?

• Binarni brojevi imaju samo dvije znamenke, 0 i 1. Svako mjesto vrijedi dva puta više od onoga desno od njega: 1, 2, 4, 8, 16…
• Jedna binarna znamenka je bit, četiri bita su nibl, a osam bitova je bajt, koji zapisuje brojeve od 0 do 255.
• Oktalni sustav ima znamenke od 0 do 7, a svaka je tri bita. Heksadecimalni ima znamenke od 0 do F, a svaka je četiri bita, jedan nibl, pa je bajt uvijek dvije heksadecimalne znamenke.
• U Arduino programu binarni broj pišemo s 0b, heksadecimalni s 0x, a oktalni s nulom na početku. Zato ispred dekadskog broja nikad ne pišemo nulu.
• Svaka varijabla ima zadan broj bitova. Kad broj prijeđe najveću vrijednost, počne ispočetka.

Mali kviz

Razgovaraj na Discord-u. (pridruži se)